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其中z為復(fù)數(shù)。對于自然數(shù)n，有以下等式成立

可以看出階乘可以用Γ函數(shù)表示，由于Γ函數(shù)在實數(shù)域上都有定義，那么可以通過它將階乘推廣到實數(shù)域上，即任意實數(shù)x的階乘可以定義為

上述函數(shù)也叫廣義階乘函數(shù)，它有很多有趣的性質(zhì)，比如

整數(shù)次冪的二項式定理的展開式系數(shù)為組合數(shù)，可以用階乘表示，若將一般(非整數(shù))實數(shù)的階乘用廣義階乘函數(shù)表示，那么組合數(shù)及二項式定理都可以推廣到復(fù)數(shù)域。不難證明，這樣推廣出來的結(jié)果和前面介紹的廣義二項式定理是一樣的。

物理中的很多問題都可以轉(zhuǎn)化為排列組合的極值問題，但一般定義在自然數(shù)上的排列或組合數(shù)中的階乘直接求極值比較麻煩，若將階乘推廣到實數(shù)域，則求極值可以通過對廣義階乘函數(shù)求導(dǎo)來解決，這樣會方便很多。